Quem dera que matemática fosse assim !

para descontrair.

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Esse video é sobre multiplicacão de matrizes, vejam !

Vejam esse video que é sobre propriedades dos determinantes, explica de uma forma bem simples e pratica.

Atividades sobre propriedades dos determinantes

1.O valor do determinante  é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 

2. Seja A ∈ Mn (R) e |A| = 2. Determine:
a) A2
b) |3A|
c) A−1
d) Ak
e) A

Propriedades dos Determinantes

As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades: 

1ª propriedade 

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

2ª propriedade 

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

3ª propriedade 

Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.

4ª propriedade 

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2 * det P 

5ª propriedade 

Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kⁿ. 

6ª propriedade 

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (R^t).

det R = ps -- qr 

det Rt = ps – rq 

7ª propriedade 

Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior. 

8ª propriedade 

O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.   

9ª propriedade 

Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet. 

10ª propriedade 

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jaco.

Exercícios Propostos Determinantes

1) Uma matriz A de ordem n onde aij = 2, para i = j e aij = 0, para i diferente de j. Se o det(3A) = 1296, o n será igual a:

2) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det=5, qual é o valor de det(3A).

3) Se A = (aij) é matriz quadrada de ordem 3, tal que aij = i- j, entã pode-se afirmar que o determinante da matriz (5A) é igual a:

Video Sobre Determinantes! Assistam

Determinantes

Definição: Podemos definir o determinante como uma função matricial, com a diferença de que, o número de linhas seja igual ao número de colunas. Nele não se aplica as quatro operações, mas, tem suas propriedades.

Determinante de ordem 1 

O determinante de ordem 1 é o próprio número da matriz.

Ex:

       A= (3)

O determinante será o próprio número 3    det(A) = 3

Determinante de ordem 2

O determinante de ordem 2 se dá a partir da multiplicação dos números existentes na matriz quadrada.

Ex: 

        

Determinantes de ordem 3

Para encontrar o determinante de ordem 3 é necessário que se utilize a regra de Sarrus.

Essa regra diz que deve-se repetir as duas primeiras colunas e multiplica as suas diagonais (principais e secundárias).

Ex:

Determinante maior ou igual a de orem 4

Para se encontrar os determinantes maiores ou iguais a quatro é necessário utilizar o Teorema de Laplace.

Esse teorema diz que o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.

Ex:

Cofator

O cofator é definido a partir da seguinte fórmula:

Compreendendo os elementos dessa expressão:

O Aij é o cofator é o elemento aij da matriz A, o Dij é o determinante da matriz obtida através da matriz A. Deverá se excluir da matriz A os elementos da linha i e da coluna j.

Ex:

Multiplicação de matrizes

Multiplicação e realizada de acordo com as seguintes regras :o numero de colunas da 1º matriz deve ser igual ao numero de linhas da 2º matriz. Exemplos:

A_4x3 * B_3x1

A_1x2 * B_2x2 

Precisamos ter bastante atenção na resolução de uma multiplicação de matrizes,a operação deve ser feita multiplicando os membros da linha da 1º matriz pelos membros da coluna da  2º matriz ,onde os elementos devem ser somados formando uma unica matriz.

Observem o exemplos:

Fizemos uma multiplicação entre uma matriz A de ordem 2x3 por uma matriz B de ordem 3x2 notamos que o número de colunas da 1º matriz dever ser igual o número de linhas da 2º matriz,foi valida pois 3=3.

O interessante é que a matriz ,produto da multiplicação é de ordem 2x2, isto é,2linhas e 2colunas ,possuindo o mesmo número de linhas da 1º e o mesmo número de colunas da 2º.

Portanto devemos observar todas essas condições na hora da multiplicação de matrizes, caso alguma dessas condições não seja  valida , a multiplicação ficará errada.

Sempre que realizar multiplicação entre matrizes faça de forma atenciosa ,desenvolvendo completamente o processo.

Equação matricial 

Veremos algumas resoluções de equações matriciais para que possamos compreender o processo realizado para obtenção da matriz solução.

Exemplo 1

Encontre a matriz X, que satisfaça a seguinte igualdade X-A=B, onde

Antes de darmos início ao uso das matrizes, utilizaremos a igualdade dada para isolarmos a nossa incógnita X.

Sendo assim, substituiremos as matrizes que conhecemos nesta equação a fim de encontrarmos a matriz X.

Exemplo 2

Se é possível resolvermos equações matriciais, por que não sistemas de equações matriciais? Vejamos um exemplo:
Determine as matrizes X e Y, que satisfaça o sistema a seguir.

Primeiramente devemos encontrar as relações de X e Y, através do sistema dado, para daí então iniciarmos o cálculo de cada matriz.
 

 

Sendo assim, temos duas relações para as matrizes solução.



Encontrando a matriz Y:

Encontrando a matriz X:

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independente da operação utilizada.

                                                          Adição e Subtração com Matrizes.

• Adição: 

As matrizes envolvidas na adição de vem ser de mesma ordem. E o resultado dessa soma também será de mesma ordem.

Ou seja:

Se somarmos a matriz A com a matriz B, de mesma ordem, A+B=C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem para forma e os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B. Assim: a₁₁ + b₁₁ = c₁₁

Exemplos:


                 Dada as matriz A e B, de ordem 3x                  
A+  B


Logo Teremos:

 +=


Observe os elementos em destaque:

a₁₃= -1 e b₁₃= -5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro: c₁₃= -6.Pois  -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6 

Observe os elementos em destaques: 

a₁₃ = - 1 e b₁₃ = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o 
c₁₃ = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6 

O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c₃₂, tivemos que somar a₃₂ + b₃₂.  Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2 

Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B. 

• Subtração:

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser de mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta da outra matriz, mas de mesma ordem.


Assim teremos:


 Se subtraírmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim:a₂₁ – b₂₁ = c₂₁. 


Exemplo:


-


Dada a matriz A= 3x3 e B= 3x3, se subtrairmos A-B teremos:

-= 3x3


Observe os elementos destacados: 

Quando subtraímos a₁₃ – b₁₃ = c_13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4 

Quando subtraímos a₃₁ – b₃₁ = c_31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3 

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

Tipos de matrizes

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

•  Matriz quadrada: é toda matriz que possui o numero de linhas igual ao numero de colunas 

• Matriz nula: São matrizes que independente do numero de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais zero

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• Matriz identidade: ela tem que ser quadrada e os elementos que pertecerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e os restantes dos elementos iguais a zero :

• Matriz transposta: Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se, "ordenadamente", suas linhas por colunas. Indicamos a matriz trasnposta de A por At.
  
  
  
  
  
• Matriz diagonal : É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertendentes à diagonal principal, iguais a zero.
  
  
  
  
  
  
  
  • Matriz triângular: matriz quadrada em que os elementos localizados abaixo ou acima da diagonal principal são nulos