Matemática Online: fevereiro 2012

Discussão de um sistema linear

Discutir um sistema linear consiste em analisá-lo de forma a determinar os valores dos coeficientes das equações que fazem com que o sistema possa ser Possível e Determinado (SPD), Possível e Indeterminado (SPI) e Impossível (SI). Impondo condições sobre um dos coeficientes já é possível discutir esse sistema e relacionar quais valores esse coeficiente pode assumir, relacionando-os com as classificações dos sistemas, como vimos anteriormente.

Para discutir um sistema serão necessários alguns conceitos importantes: o cálculo do determinante da matriz que possui os coeficientes das equações que constituem o sistema linear, o escalonamento de um sistema linear, e a classificação de sistemas lineares escalonados.

Faremos uma análise do determinante dos coeficientes de uma matriz 2x2, entretanto essa análise é válida para qualquer sistema com n equações e n incógnitas.Considere o seguinte sistema:

determinante dos coeficientes é dado pela seguinte matriz-determinante:

Obteremos as condições para que o sistema linear seja classificado de acordo com esse determinante. Portanto, temos as seguintes condições:

Discuta o sistema, analisando os valores do coeficiente k:

Devemos calcular o determinante D:

Façamos a análise para do coeficiente k, para que o sistema seja SPD:

Com isso, podemos concluir que para calcular o valor de k que seja diferente de 4, teremos um sistema SPD.Em contrapartida, devemos analisar o valor que gera um sistema SPI ou SI. Para determinar essa classificação, devemos substituir o valor obtido e analisar o sistema

Substituindo no sistema, teremos

Divida a segunda equação por 2 e analise o sistema:

Note que temos equações iguais, porém dando resultados diferentes, ou seja, equações incoerentes, incompatíveis, resultando, assim, em um sistema SI.

Por fim, analisando o sistema de acordo com o coeficiente k, temos:

Regra de Cramer- Video Aula

Regra de Cramer

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz:

Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:

x₁ = D1
         D

x₂ = D2
         D

x₃ = D3 ...   x_n = Dn
         D                    D
Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:

Dado o sistema linear

, para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.

. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.

D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.
. Agora calcularmos o seu determinante Dy.

Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.

. Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.

Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.

A incógnita x = Dx = 15 = 1
D 15

A incógnita y = Dy = 30 = 2
D 15

A incógnita z = Dz = 45 = 3
D 15

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.

Reslução de um Sistema Linear

Sistema Linear Escalonando

O sistema de escalonamento de matrizes completas do coeficiente numéricos de um sistema de equações lineares possui a finalidade de simplificar o sistema através e operações entre os elementos pertencentes as linhas da matriz.

Ex:

No escalonamento o x fica zero na segunda e na terceira equação e o y fica zera na terceira equação, assim, o valor de z é encontrado e consequentemente os valores de y e z também podem ser encontrados.

Ex: x +5y+2z = 10
2x+y-3z = -3
3x+6y+5z = 19

Eliminar o x - multiplique a primeira equação por (-2) e depois multiplique a primeira coma segunda, após, multiplique a primeira equação por (-3) e depois multiplique com a terceira equação, assim o x será eliminado

Eliminar o y - multiplique a segunda equação por (-1) e depois multiplique-a com a terceira equação, asim o y será eliminado.

Após, encontre o valor de z e os de y e x ( nesta sequência)